קיץ 2023 מועד א – שאלה 1 סעיף אאינדוקציה 571 · בגרות 571

אינדוקציה · שאלון 571

קיץ 2023 מועד א – שאלה 1 סעיף א

פרק 6 – שאלות בגרות 571 – אינדוקציה

1נוסח השאלה

2סעיף א (1) – אם… אז…

3סעיף א (2) – למה הטענה לא נכונה

📄 נוסח השאלה

נתונות שתי סדרות המוגדרות לכל n טבעי: a_n = 2n − 1, b_n = 2ⁿ.

נסמן: T_n = a₁b₁ + a₂b₂ + … + a_nb_n.

(1) הוכיחו כי: אם בעבור k טבעי כלשהו מתקיים T_k = (2k − 3) · 2^{k + 1}, אז מתקיים T_{k + 1} = (2k − 1) · 2^{k + 2}.

לפניכם טענה: לכל n טבעי מתקיים T_n = (2n − 3) · 2^{n + 1}.

(2) הסבירו מדוע טענה זו אינה נכונה.

סעיף א (1) – אם… אז…

זה בדיוק שלב הצעד. T_{k + 1} הוא T_k ועוד האיבר a_{k + 1}b_{k + 1}:

a_{k + 1} = 2(k + 1) − 1 = 2k + 1

b_{k + 1} = 2^{k + 1}

לפי מה שנתון ב"אם":

📐 הנחת האינדוקציה

T_{k + 1} = T_k + a_{k + 1}b_{k + 1}

= (2k − 3) · 2^{k + 1}

+ (2k + 1) · 2^{k + 1}

📐 הנחת האינדוקציה

T_k = (2k − 3) · 2^{k + 1}

סעיף א (1) – אם… אז… · המשך

+ (2k + 1) · 2^{k + 1}

נוציא גורם משותף 2^{k + 1}:

📐 הוצאת גורם משותף

= 2^{k + 1}(2k − 3 + 2k + 1)

= 2^{k + 1}(4k − 2)

= 2^{k + 1} · 2(2k − 1)

חוקי חזקות: 2 · 2^{k + 1} = 2^{k + 2}:

📐 חוקי חזקות

= (2k − 1) · 2^{k + 2} ✓

✅ פתרון סופי: הוכח ✓

📐 הוצאת גורם משותף

ab + ac = a(b + c)

📐 חוקי חזקות

a^m · aⁿ = a^{m + n}

סעיף א (2) – למה הטענה לא נכונה

נבדוק את שלב הבסיס, n = 1:

📐 אינדוקציה מתמטית

T₁ = a₁b₁ = 1 · 2 = 2

(2 · 1 − 3) · 2^{1 + 1}

= (−1) · 4 = −4

2 ≠ −4

הטענה לא מתקיימת בעבור n = 1. בסעיף (1) הוכחנו רק את שלב הצעד, ובלי שלב הבסיס אין הוכחה באינדוקציה.

✅ פתרון סופי: הטענה אינה נכונה כבר בעבור n = 1: 2 ≠ −4

📐 אינדוקציה מתמטית

1. בסיס: בדיקה בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k
3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי

📌 ארבעת השלבים של הוכחה באינדוקציה

📐 בסיס והנחה

1. בסיס: בודקים בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k

📐 צעד ומסקנה

3. צעד: מוכיחים בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי

💡 בצעד תמיד מפרידים את האיבר האחרון ומציבים את הנחת האינדוקציה.

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא